傅里叶级数

Fourier级数

一个信号，不是连续的就是离散的，不是周期的就是非周期的，简单的排列组合，信号分为四类，它们的傅里叶变换都有自己的名字，沿用了200多年，记住就行。

连续-周期信号的FT叫做傅里叶级数

连续-非周期信号的FT叫做傅里叶变换

离散-周期信号的FT叫做离散傅里叶变换 [公式]

离散-非周期信号的FT叫做离散时间傅里叶变换 [公式]

作用

将任何周期函数用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示.

思路

在周期函数中,正弦函数和余弦函数是常用且简单的周期函数.

一般的周期函数是否能够展开成一系列简单的正余弦函数之和呢?

就是说是否能够将周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$的周期函数$f(t)$用一系列正弦函数$y=Asin(n\omega t+\phi_n)$组成的级数来表示：

$$ f(t) = A_0 + \sum^{\infty}_{n=1}A_nsin(n\omega t+\phi_n) $$

其中$A_0, A_n, \phi_n(n=1,2,...)$为常数

有：

$$ A_nsin(n\omega t+\phi_n) = A_nsin\phi_ncosn\omega t + A_ncos\phi_nsinn\omega t $$

令$a_0/2=A_0$, $a_n=A_nsin\phi_n$, $b_n = A_ncos\phi_n$, $x=\omega t$

上式可化为：

$$ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx) $$

其中$a_0, a_n, b_n(n=1,2,...)$都是常数

然后我们需要考虑是否可以用这个式子来拟合$f(t)$

即是否可以找到合适的$a_0, a_n, b_n(n=1,2,...)$，使得式子成立

接下来我们先引入一个概念，得到一个要用的结论

三角函数系的正交性

三角函数系定义：

$$ {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx, ...} $$

这一系列数我们称为三角函数系。

在这个三角函数系中我们容易发现如下事实：

事实1

$$ \int^{\pi}_{-\pi}sinmxcosnxdx=0 $$

事实2

$$ \int^{\pi}_{-\pi}cosmxcosnxdx= \begin{cases} \pi,&m=n\\ 0,&m\neq n \end{cases} $$

事实3

$$ \int^{\pi}_{-\pi}sinmxsinnxdx= \begin{cases} \pi,&m=n\\ 0,&m\neq n \end{cases} $$

证明

$$ \int^{\pi}_{-\pi}sinnxdx=0 $$

$$ \int^{\pi}_{-\pi}cosnxdx=0 $$

和差化积

$$ \int^{\pi}_{-\pi} sinnxcosmxdx = \int [sin(n+m)x+sin(n-m)x]dx = 0 $$

$$ \int^{\pi}_{-\pi}sinnxsinmxdx = \frac{1}{2}\int[cos(n-m)x-cos(n+m)x]dx $$

$$ \int^{\pi}_{-\pi}[cos(n-m)x-cos(n+m)x]dx= \begin{cases} 2\pi & n=m\\ 0 & n \neq m \end{cases} $$

同理

$$ \int^{\pi}_{-\pi}cosnxcosmxdx = \frac{1}{2}\int[cos(n-m)x+cos(n+m)x]dx $$

$$ \int^{\pi}_{-\pi}[cos(n-m)x+cos(n+m)x]dx= \begin{cases} 2\pi & n=m\\ 0 & n \neq m \end{cases} $$

得证

函数展开成Fourier级数

要解决两个问题：

一是三角级数的系数如何确定

二是三角级数是否收敛，若收敛是否收敛于$f(x)$

设函数$f(x)$是周期$2\pi$的周期函数，且可以展开成三角级数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx) $$

求解系数$a_0, a_n, b_n$

假设上述级数可以逐项积分，则

下式积分范围是$-\pi, \pi$,由于博客的bug，暂时不写了

$$ \begin{aligned} \int f(x)dx &= \int\frac{a_0}{2}dx + \sum^{\infty}_{n=1}(a_n\int cosnxdx+b_n\int sinnxdx) \\ &= a_0\pi \end{aligned} $$

得到

$$ a_0 = \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)dx $$

再对$f(x)cosnx$积分

$$ \begin{aligned} \int f(x)cosnxdx &= a_n \int cos^2nxdx \\ &= \frac{a_n}{2}\int (1+cos2nx)dx \\ &= \pi a_n \end{aligned} $$

得到

$$ a_n = \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-pi}f(x)cosnxdx, (n=1, 2, ...) $$

同理可由$f(x)sinnx$得到

$$ b_n = \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-pi}f(x)sinnxdx, (n=1, 2, ...) $$

所以，如果$a_n, b_n$存在，那么一个函数$f(x)$即可展开为三角级数。

总结

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \int^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx) $$